Lectura comentada de laterceraparte del libreo de Polya

Universidad Autónoma de Guerrero

Unidad Académica De Matemáticas

Pensamiento Lógico Heurístico y Creativo

Lectura comentada de la tercera parte del libro:

Como Plantear y Resolver Problemas (G.Polya)

M.C. Joel Torres Leyva.

Alumno:

Alberto Pascual Rosales

Lectura comentada de la tercera parte del libro.

El núcleo fundamental del libro lo forma la larga tercera parte, titulada “Breve diccionario de heurística”. En ella, por orden alfabético, va tratando una serie de entradas, de distinta importancia y extensión, sobre la RP. Así hace un recorrido histórico por la ,heurística, que trata del comportamiento humano frente a los problemas; este estudio se remonta, al parecer, a los primeros tiempos de la sociedad. En cuanto a sus nombres propios comienza, en el tiempo, en Pappus (aprox. del año 300 antes de Cristo), sigue con Aristóteles (de quien da una sugestiva descripción de las ,ideas brillantes, como actos de sagacidad, y ,sagacidad es descubrir adivinando una relación esencial en un lapso de tiempo inapreciable,); Descartes (1596-1650), que se propuso encontrar un método universal para la RP, pero que dejó inconclusa; Leibnitz (1646-1716), que tuvo el proyecto de escribir un ,Arte de la invención,, y que dijo que «no hay nada más importante que el considerar las fuentes de la invención que son, a mi criterio, más interesantes que las invenciones mismas»; Bolzano (1781-1848), que dedicó una buena parte de su obra de lógica al tema de la heurística; para acabar en los contemporáneos como Hadamard.

Iremos reproduciendo algunas citas de Polya a lo largo del capítulo, para intentar dar una idea del espíritu del mismo. En el largo artículo dedicado a la analogía, dice que el sentimiento de que un orden armonioso y simple no podía ser engañoso guía al investigador tanto en matemáticas como en las demás ciencias, y recuerda que la inducción está naturalmente basada en la analogía. Recuerda también que un, corolario etimológicamente  es una propina y asegura que sería un error el creer que la solución de un problema es un, asunto puramente intelectual; la determinación, las emociones, juegan un papel importante; y, en la misma línea, la solución de problemas es una escuela de la voluntad. Si el alumno no encuentra en la escuela la oportunidad de familiarizarse con las diversas emociones que ofrece el esfuerzo con vista a la solución, su educación matemática ha fallado en su objetivo más esencial.

Cuando se refiere a, Examine su hipótesis, dice su hipótesis puede ser correcta, pero sería absurdo el tomar una hipótesis por cierta simplemente porque se le ha ocurrido, como hacen la mayor parte de las veces las personas simplistas. Su hipótesis puede no ser correcta. Sería igualmente absurdo el no considerar una hipótesis plausible; este es el defecto en que incurren los pedantes. No existen en realidad ideas francamente malas, a menos que no tengamos sentido crítico. Lo que realmente es malo es no tener idea alguna, por muy sencilla que sea. En cuanto al papel de la inducción, las matemáticas presentadas con rigor son una ciencia sistemática, deductiva, pero las matemáticas en gestación son una ciencia experimental, inductiva. En matemáticas, como en las ciencias físicas, podemos emplear la observación y la inducción para descubrir leyes generales; pero existe una diferencia. En las ciencias físicas, en efecto, no hay nada por encima de la observación y de la inducción, mientras que en matemáticas se tiene, además, la demostración rigurosa. Por eso, todo conocimiento sólido se apoya sobre una base experimental reforzada por cada problema cuyo resultado ha sido cuidadosamente verificado. En cuanto al tipo habitual de presentación formal de las matemáticas, la exposición euclideana es perfecta si se trata de subrayar cada punto particular, pero menos indicada si lo que se quiere es recalcar las articulaciones esenciales del razonamiento. La exposición euclideana se desarrolla en un orden que es, la mayor parte de las veces, exactamente opuesto al orden natural de la invención. Todo este conjunto de reflexiones no dejan de ser pertinentes sobre la manera de llegar a resultados y de comunicarlos, sobre todo en la enseñanza.

En cuanto a la notación que se debe utilizar en la RP, el empleo de símbolos matemáticos es análogo al de palabras. La notación matemática aparece como una especie de lenguaje, un lenguaje perfectamente adaptado a su propósito, conciso y preciso, con reglas que no sufren excepciones. La elección de la notación constituye una etapa importante en la solución de un problema. Debe elegirse con cuidado. Una notación apropiada podrá contribuir de modo primordial a la comprensión del problema.

En el camino hacia la resolución de un problema aparecen a veces ideas brillantes. ¿Qué es una idea brillante? Es una transformación brusca y esencial de nuestro punto de vista, una reorganización repentina de nuestro modo de concebir el problema, una previsión de la etapas que nos llevarán a lo solución, previsión en la cual, pese a su aparición repentina, presentimos que nos podemos fiar. En cuanto a los tipos de problemas, los problemas por resolver, tienen mayor importancia en las matemáticas elementales, los problemas por demostrar, son más importantes en las superiores. Los problemas de rutina, incluso empleados en gran número, pueden ser útiles en la enseñanza de las matemáticas, pero sería imperdonable proponer a los alumnos exclusivamente problemas de este tipo. Limitar la enseñanza de las matemáticas a la ejecución mecánica de operaciones rutinarias es rebajarla por debajo del nivel de un libro de cocina, ya que las recetas culinarias reservan una parte a la imaginación y al juicio del cocinero, mientras que las recetas matemáticas no permiten tal cosa. En cuanto a la relación con la vida fuera del aula, podemos decir que las incógnitas, los datos, las condiciones, los conceptos, los conocimientos necesarios, en suma, todo en los problemas prácticos es más complejo y menos preciso que en los problemas puramente matemáticos. Sin embargo, las razones y los métodos fundamentales que conducen a la solución son propiamente los mismos para los dos tipos de problemas.

También Polya da unas reglas, como casi todo el mundo, pero que en este caso están llenos de buen sentido. Reproducimos algunos partes de las mismas reglas de enseñanza:

La primera de estas reglas es conocer bien lo que se quiere enseñar.

La segunda es saber un poco más. No olvidemos que un profesor de matemáticas debe saber lo que enseña y que si desea inculcar a sus alumnos la correcta actitud mental para abordar problemas debe él mismo haber adquirido dicha actitud.

Regla de estilo: 

La primera regla de estilo consiste en tener algo que decir.

La segunda es saberse controlar en caso de tener dos cosas por decir; exponer primero la una y después la otra, no ambas a la vez.

Reglas de descubrimiento:

La primera de estas reglas es ser inteligente y tener suerte.

La segunda es sentarse bien tieso y esperar la ocurrencia de una idea brillante.

Reglas infalibles que permitiesen resolver todo problema de matemáticas serían con toda seguridad preferibles a la piedra filosofal tan buscada en vano por los alquimistas. Tales reglas procederían de la magia y no hay tal magia.

Encontrar reglas infalibles aplicables a todo tipo de problemas no es más que un viejo sueño filosófico sin ninguna posibilidad de realizarse.