Universidad Autónoma de Guerrero
Unidad Académica De Matemáticas
Pensamiento Lógico Heurístico y Creativo
Lectura comentada de la tercera parte del libro:
Como Plantear y Resolver Problemas (G.Polya)
M.C. Joel Torres Leyva.
Alumno:
Alberto Pascual Rosales
Lectura comentada de la tercera parte del libro.
El núcleo fundamental del
libro lo forma la larga tercera parte, titulada “Breve diccionario de
heurística”. En ella, por orden alfabético, va tratando una serie de entradas,
de distinta importancia y extensión, sobre la RP. Así hace un recorrido
histórico por la ,heurística, que trata del comportamiento humano frente a los
problemas; este estudio se remonta, al parecer, a los primeros tiempos de la
sociedad. En cuanto a sus nombres propios comienza, en el tiempo, en Pappus
(aprox. del año 300 antes de Cristo), sigue con Aristóteles (de quien da una
sugestiva descripción de las ,ideas brillantes, como actos de sagacidad, y
,sagacidad es descubrir adivinando una relación esencial en un lapso de tiempo
inapreciable,); Descartes (1596-1650), que se propuso encontrar un método
universal para la RP, pero que dejó inconclusa; Leibnitz (1646-1716), que tuvo
el proyecto de escribir un ,Arte de la invención,, y que dijo que «no hay nada
más importante que el considerar las fuentes de la invención que son, a mi
criterio, más interesantes que las invenciones mismas»; Bolzano (1781-1848),
que dedicó una buena parte de su obra de lógica al tema de la heurística; para
acabar en los contemporáneos como Hadamard.
Iremos reproduciendo algunas
citas de Polya a lo largo del capítulo, para intentar dar una idea del espíritu
del mismo. En el largo artículo dedicado a la analogía, dice que el sentimiento
de que un orden armonioso y simple no podía ser engañoso guía al investigador
tanto en matemáticas como en las demás ciencias, y recuerda que la inducción
está naturalmente basada en la analogía. Recuerda también que un, corolario etimológicamente es una propina y asegura que sería un error
el creer que la solución de un problema es un, asunto puramente intelectual; la
determinación, las emociones, juegan un papel importante; y, en la misma línea,
la solución de problemas es una escuela de la voluntad. Si el alumno no
encuentra en la escuela la oportunidad de familiarizarse con las diversas
emociones que ofrece el esfuerzo con vista a la solución, su educación
matemática ha fallado en su objetivo más esencial.
Cuando se refiere a, Examine
su hipótesis, dice su hipótesis puede ser correcta, pero sería absurdo el tomar
una hipótesis por cierta simplemente porque se le ha ocurrido, como hacen la
mayor parte de las veces las personas simplistas. Su hipótesis puede no ser correcta.
Sería igualmente absurdo el no considerar una hipótesis plausible; este es el
defecto en que incurren los pedantes. No existen en realidad ideas francamente
malas, a menos que no tengamos sentido crítico. Lo que realmente es malo es no
tener idea alguna, por muy sencilla que sea. En cuanto al papel de la inducción,
las matemáticas presentadas con rigor son una ciencia sistemática, deductiva,
pero las matemáticas en gestación son una ciencia experimental, inductiva. En
matemáticas, como en las ciencias físicas, podemos emplear la observación y la
inducción para descubrir leyes generales; pero existe una diferencia. En las
ciencias físicas, en efecto, no hay nada por encima de la observación y de la
inducción, mientras que en matemáticas se tiene, además, la demostración
rigurosa. Por eso, todo conocimiento sólido se apoya sobre una base
experimental reforzada por cada problema cuyo resultado ha sido cuidadosamente
verificado. En cuanto al tipo habitual de presentación formal de las
matemáticas, la exposición euclideana es perfecta si se trata de subrayar cada
punto particular, pero menos indicada si lo que se quiere es recalcar las
articulaciones esenciales del razonamiento. La exposición euclideana se
desarrolla en un orden que es, la mayor parte de las veces, exactamente opuesto
al orden natural de la invención. Todo este conjunto de reflexiones no dejan de
ser pertinentes sobre la manera de llegar a resultados y de comunicarlos, sobre
todo en la enseñanza.
En cuanto a la notación que
se debe utilizar en la RP, el empleo de símbolos matemáticos es análogo al de
palabras. La notación matemática aparece como una especie de lenguaje, un
lenguaje perfectamente adaptado a su propósito, conciso y preciso, con reglas
que no sufren excepciones. La elección de la notación constituye una etapa
importante en la solución de un problema. Debe elegirse con cuidado. Una
notación apropiada podrá contribuir de modo primordial a la comprensión del
problema.
En el camino hacia la
resolución de un problema aparecen a veces ideas brillantes. ¿Qué es una idea
brillante? Es una transformación brusca y esencial de nuestro punto de vista,
una reorganización repentina de nuestro modo de concebir el problema, una
previsión de la etapas que nos llevarán a lo solución, previsión en la cual,
pese a su aparición repentina, presentimos que nos podemos fiar. En cuanto a
los tipos de problemas, los problemas por resolver, tienen mayor importancia en
las matemáticas elementales, los problemas por demostrar, son más importantes
en las superiores. Los problemas de rutina, incluso empleados en gran número,
pueden ser útiles en la enseñanza de las matemáticas, pero sería imperdonable
proponer a los alumnos exclusivamente problemas de este tipo. Limitar la
enseñanza de las matemáticas a la ejecución mecánica de operaciones rutinarias
es rebajarla por debajo del nivel de un libro de cocina, ya que las recetas
culinarias reservan una parte a la imaginación y al juicio del cocinero,
mientras que las recetas matemáticas no permiten tal cosa. En cuanto a la
relación con la vida fuera del aula, podemos decir que las incógnitas, los
datos, las condiciones, los conceptos, los conocimientos necesarios, en suma,
todo en los problemas prácticos es más complejo y menos preciso que en los
problemas puramente matemáticos. Sin embargo, las razones y los métodos
fundamentales que conducen a la solución son propiamente los mismos para los
dos tipos de problemas.
También Polya da unas
reglas, como casi todo el mundo, pero que en este caso están llenos de buen
sentido. Reproducimos algunos partes de las mismas reglas de enseñanza:
La primera de estas reglas
es conocer bien lo que se quiere enseñar.
La segunda es saber un poco más.
No olvidemos que un profesor de matemáticas debe saber lo que enseña y que si
desea inculcar a sus alumnos la correcta actitud mental para abordar problemas debe
él mismo haber adquirido dicha actitud.
Regla de estilo:
La primera regla de estilo
consiste en tener algo que decir.
La segunda es saberse
controlar en caso de tener dos cosas por decir; exponer primero la una y después
la otra, no ambas a la vez.
Reglas de descubrimiento:
La primera de estas reglas
es ser inteligente y tener suerte.
La segunda es sentarse bien
tieso y esperar la ocurrencia de una idea brillante.
Reglas infalibles que
permitiesen resolver todo problema de matemáticas serían con toda seguridad
preferibles a la piedra filosofal tan buscada en vano por los alquimistas.
Tales reglas procederían de la magia y no hay tal magia.
Encontrar reglas infalibles
aplicables a todo tipo de problemas no es más que un viejo sueño filosófico sin
ninguna posibilidad de realizarse.
